미적분의 쓸모를 읽고서
평생 자연계, 이공계에서 공부를 했던 사람으로서 주변 사람들에게 자연과학, 기초과학의 필요성에 대해 늘 이야기를 한다. ‘수학’이라고 하면 거부감부터 느끼는 이들이 많은데, 책 ‘미적분의 쓸모’는 일상 속에서 수학이 충분히 활용되고 있음을 말해준다. 책은 수학 중에서도 우리 주변에서 쓰이고 있는 미적분에 대해 말한다.
◇카메라가 과속을 적발하는 방법
자동차가 빠른 속도로 지나가는 찰나에 과속 여부를 어떻게 판단할까. 미적분 원리다.
고정식 단속카메라는 ‘순간속도’를 측정한다. 카메라 시야각이 도로의 25m 정도를 측정할 수 있도록 설치해놓는다. 시야각 안에 처음 들어오는 자동차의 이미지와 어떤 위치를 지나가는 이미지 두 개 시차를 분석한다. 첫번째 들어왔던 데에서 두 번째 들어온 데까지 10초에 통과하면 정속주행을 한 것이지만 그보다 시간이 빠르다면 과속을 했다고 판단한다. 많은 사람이 카메라가 속도를 측정한다고 생각하지만, 알고 보면 아스팔트 바닥에 설치된 감지선이 측정을 담당한다.
이 때 쓰이는 계산식이 미적분학이다. 두 감지선 사이 거리가 25m이고, 통과시간이 1초라면 25m/1초다. 이를 시속으로 환산하면 90,000m/1시간으로 차량의 순간속도는 90km다. 차량이 지나갔던 곳의 제한속도가 50km였다면, 여지없이 ‘과속’ 딱지가 집으로 날라온다.
문제는 ‘캥거루 운전’을 하는 운전자들이 많다는 점이다. 단속을 하는 25m만 속도를 줄이고, 다시 속도를 올려 쌩쌩달리는 것이다.
이를 막기 위해 또다른 미적분의 원리를 적용한 것이 ‘구간단속 카메라’다. 지금은 자유로가 하루 평균 교통량이 가장 많은 도로로 꼽히지만, 일산이 개발되기 전만해도 자유로 교통량이 적었다. 다니는 차가 없다보니 시속 150km 이상 쌩쌩 달리기 십상이었다. 이름마저 ‘자유로’이다보니 폭주족에게는 도심에서 즐길 수 없던 자유로운 속도를 느낄 수 있는 도로였다.
자유로 폭주족을 잡기 위한 것이 구간단속 카메라다. 정해둔 구간의 차량 이동 평균 속도가 제한속도를 넘는다면, 제한속도를 위반한 시점이 적어도 한 곳 이상 있다는 ‘평균값 정리’를 이용한 것이다. 이 경우구간에 진입했을 때와, 구간 마지막 지점에서 찍힌 속도가 최고제한속도보다 낮아도 소용없다.
사실 과속카메라 이야기는 흔히 알려진 사실이다. 요즘에는 애니메이션에 미적분이 활용되고 있다는 내용이 더 흥미로울 것이다. 불쏘시개 유튜브 채널에서 확인 바란다.
/김영욱 프록시헬스케어 대표, 미 메릴랜드대 전기공학 석·박사
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