[사고력 쑥쑥! 영재수학]71번째 정사각형 넓이의 합은?

문제 : 아래 그림과 같이 반지름이 6㎝인 원 안에 크기가 같은 정사각형을 그렸을 때, 71번째로 그려지는 정사각형의 넓이의 합을 구하시오.

정답 : 1㎠

해설 : 먼저 대각선의 길이가 주어진 정사각형의 넓이를 구하는 과정을 생각해 봅시다. 예를 들어 대각선의 길이가 10㎝인 경우를 생각해보면 아래와 같습니다.

[그림 1]을 [그림 2] 처럼 잘라서 네 부분을 각각 가, 나, 다, 라로 이름을 붙인 후에 [그림 3]과 같이 다와 라를 옮겨서 붙이면 가로, 세로의 길이가 각각 5㎝, 10㎝인 직사각형이 됩니다. 이와 같이 면적은 같도록 하고 형태를 변화시키는 것을 등적변형이라고 합니다. 그러므로 대각선의 길이가 10㎝인 정사각형의 넓이를 구하는 식은 10×10÷2=50(㎠)이 됩니다.

이와 같은 생각으로 주어진 도형의 넓이를 구하는 과정을 생각해 보면

첫 번째 그림에서 정사각형의 대각선은 지름의 1/2

두 번째 그림에서 정사각형의 대각선은 지름의 1/3

세 번째 그림에서 정사각형의 대각선은 지름의 1/4

이므로 71번째 그림에서 정사각형의 대각선은 지름의 1/72 입니다.

따라서, 71번째 도형에서 나타나는 작은 정사각형의 대각선의 길이는 12 × 1/72 = 12/72 ㎝이고, 그러한 작은 정사각형이 모두 72개가 있으므로 넓이의 합은 다음과 같습니다. 12/72 × 12/72 × 1/2 ×72 = 1(㎠)

< 에듀모아 제공 >

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