꽃잎들은 5각형을 좋아해

[한겨레] 동네를 산책하다 보면 늘 꽃들을 만나게 된다. 철쭉꽃(그림 1),배꽃(그림 2), 벚꽃 등 이름을 아는 것도 있고, 이름모를 작은 들꽃(그림 3)도있다. 이 꽃들에서 발견할 수 있는 수학적 공통점은 무엇일까 다섯 개의 잎이오각형을 이루며 별 모양을 만들어 낸다. 햇볕을 잘 받는 곳에 핀 꽃 중엔 잎배열이 오각형인 것도 있다.(그림 4) 꽃잎의 전체적인 모습을 주의깊게 살펴보면오각형을 잡아 늘이거나 찌그러뜨린 모습이다. 잎들이 마치 햇볕을 더 많이 붙들기위해 펼친 손처럼 보인다. 사람의 손과 비슷한 대칭성을 지니고 있어서일까 과일의꼭지 부분을 잘 살펴보자. 이 부분에서도 오각형의 흔적(다섯 장의 꽃잎)을 발견할수 있다. 꽃과 나무들은 왜 오각형을 좋아하는 것일까 오각형을 수학적으로접근해보자. 관찰하고 추측하기 1. 같은 길이의 선분 다섯 개의 끝을 서로 연결하면 오각형이 만들어진다. 이렇게만들어진 오각형은 내각이 각각 같다. 이 오각형을 수학에선 정오각형이라고 한다.

정오각형의 내각 하나의 크기는 몇 도일까 정오각형을 세 개의 삼각형으로분할하면 그 답을 알 수 있다. 삼각형의 모든 내각들의 합이 180도이므로 오각형의모든 내각의 합은 180×3=540도이다. 따라서 정오각형의 한 내각의 크기는540/5=108도이다.(그림 5) 2. 정오각형을 세 개의 삼각형으로 분할할 때, 두 종류의 이등변 삼각형이생긴다. 한 내각이 90도보다 큰 이등변삼각형(둔각 이등변삼각형)이 생기고, 세내각이 모두 90도보다 작은 이등변삼각형(예각 이등변삼각형)이 생긴다. 둔각이등변삼각형의 세 내각은 36-36-108도이고 예각 이등변삼각형의 세 내각은36-72-72도이다. 이등변삼각형은 두 밑각이 같다는 사실을 이용하여 쉽게확인해보자. 조금 더 생각하기 1. 정오각형 안에 몇 개의 대각선을 그을 수 있을까 각 꼭지점에 1부터 5까지번호를 붙이자. 각 점 1과 3, 1과 4, 2와 4, 2와 5, 3과 5를 선분으로 연결하면모두 대각선이 된다. 대각선은 모두 다섯 개로 별 모양을 이룬다. 신기하게도 그내부에 작은 정오각형이 만들어진다.(그림 6) 만약 이 작은 정오각형 안에대각선을 그으면 어떻게 될까 더 작은 별 모양이 만들어지며 다시 그 안에정오각형이 만들어진다. 정오각형은 대각선을 이용하면 자기복제가 가능한 도형인셈이다. 꽃이나 나무들도 이런 신비를 가지고 있는 것은 아닐까 수를 신비롭게여기는 수학자들은 이런 이유에서 5를 ‘생명의 수’라 부른다.

2. 매듭을 이용하여 정오각형을 접어보자. 좁고 긴 종이로 매듭을 만들 듯이 서로잡아 묶어 당기면 정오각형이 만들어진다. 다시 안쪽으로 밀어 넣어 햇볕에비추어보라. 종이가 겹쳐짐으로써 정오각형 안에 별이 보일 것이다.(그림 7)김흥규/서울 광신고 교사 heung13@unitel.co.krⓒ 한겨레(http://www.hani.co.kr), 무단전재 및 재배포 금지