[주말N수학] 풀면 갇히고 꼬면 빠진다

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‘클로버 퍼즐’은 위상수학의 한 분야이자 배배 꼬인 매듭을 교차점의 개수에 따라 분류하고 매듭끼리 합성해 그 성질을 파악하는 ‘매듭 이론’과 관련이 깊은 퍼즐입니다. 흔히 알고 있는 매듭과 수학에서 말하는 매듭은 차이가 있습니다. 

중국의 퍼즐 디자이너 아론 왕이 고안한 클로버 퍼즐은 세잎클로버 장식이 달린 목걸이에 반지를 걸어놓은 듯한 모습을 하고 있습니다. 정확히 말하면 목걸이 끈을 반지 모양 고리에 통과시킨 뒤 그 고리가 빠지지 않도록 한쪽 끝에 커다란 나무 공을 매달아 놓은 모습입니다. 이 고리를 목걸이로부터 분리하는 게 클로버 퍼즐의 목표입니다.

얼핏 보면 절대 분리할 수 없을 것처럼 보이지만, 대부분의 퍼즐이 그렇듯 마술 같은 해법이 있습니다. 철사를 엇갈려 만든 세잎클로버를 끈이라고 생각하고 양 끝을 당기면 매듭이 만들어지는데, 이 매듭을 연구하는 매듭 이론이 해법의 핵심입니다.

매듭 하면 우리는 신발 끈을 묶은 것처럼 꼬인 끈을 떠올리는데, 위상수학의 매듭 이론에서 말하는 매듭은 조금 다릅니다. 아무리 단단하게 묶인 끈도 양 끝이 떨어져 있으면 시간이 걸릴 뿐 언젠가 풀 수 있어 묶이지 않은 끈과 똑같다고 생각합니다. 위상수학에서는 자르거나 구멍을 내지 않고 어떤 물체와 똑같이 만들 수 있으면 두 물체를 같은 것으로 봅니다. 그래서 끈을 아무리 조작해도 풀 수 없도록 양 끝을 이어붙인 끈만을 ‘매듭’이라고 합니다. 

세 잎 매듭을 풀려면 매듭을 만들어라

클로버 퍼즐의 해법이 생각보다 어려워 단계적으로 생각할 필요가 있습니다. 우선 나무 공의 지름은 고리의 지름보다 큽니다. 나무 공 쪽으로 고리를 빼는 건 불가능합니다. 따라서 고리를 세잎클로버 장식의 한쪽부터 통과시켜서 반대쪽 끝으로 빼야합니다. 

고리의 움직임을 방해하는 끈은 적절히 움직여 아래 그림①-1처럼 세잎클로버에 딱 붙게 할 수 있다면 아마 고리를 쉽게 분리할 수 있습니다.

 

하지만 문제는 끈을 이렇게 만들 수 없다는 점입니다. 그림①-1에서 철사와 끈을 쭉 펴면 오른쪽 그림②처럼 교차점이 없는 ‘영 매듭’이 됩니다. 하지만 클로버 퍼즐은 그림③과 같은 ‘세 잎 매듭’이기 때문에 아무리 변형시켜도 영 매듭으로 만들 수 없습니다. 

하지만 의외로 쉽게 해결할 수 있는 방법이 있습니다. 그림①-2처럼 세잎클로버의 한쪽 끝에 작은 세 잎 매듭이 만들어지도록 하면 철사와 끈이 기존 매듭을 유지하면서 고리가 통과할 수 있습니다. 궁금한 것이 있으면 폴리매스 홈페이지에서 물어보세요. 

폴리매스 바로가기 http://www.polymath.co.kr/contents/list/030201

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