120년 수학 난제 풀렸다…美·日연구진, ‘듀드니 퍼즐’ 증명

듀드니의 4조각 절단이 최적 방식임을 입증

삼각형을 4조각으로 잘라 정사각형을 만들어 듀드니 퍼즐을 해결한 예시./위키미디어

정삼각형을 최소한의 조각으로 나눠 정사각형으로 조합하는 문제, 이른바 ’듀드니 퍼즐(Dudeney’s Puzzle)’의 최적 해법이 120년 만에 증명됐다.

일본 호쿠리쿠선단과학기술대학원대학(JAIST)은 “우에하라 류헤이, 카마타 토난 교수가 정삼각형을 정사각형으로 변환하는 최소 조각 수가 4개임을 증명했다”고 지난 11일 발표했다. 미국 매사추세츠 공대(MIT)의 에릭 드메인(Erik Demaine) 교수도 참여했다. 이번 연구 결과는 논문 사전 공개 사이트인 아카이브(arXiv)에 지난해 12월 5일 올랐다.

듀드니 퍼즐의 역사는 1907년으로 거슬러 올라간다. 영국의 수학자이자 퍼즐 작가인 헨리 어니스트 듀드니(Henry Ernest Dudeney)는 ‘정삼각형을 가능한 최소한의 조각으로 나눈 후 이를 정사각형으로 변환할 수 있는가’라는 문제를 제시했다. 듀드니는 퍼즐을 낸 지 4주 만에 단 4조각으로 변환하는 방법을 발표했지만, 3조각 이하로 잘라낼 수 있는지는 120년 동안 미해결 과제로 남아 있었다.

연구진은 이 난제를 해결하기 위해 단계적으로 접근했다. 먼저 정삼각형을 2조각으로 나누어 정사각형으로 조립할 수 있는지 분석했으나, 기하학적 제약으로 인해 불가능하다는 결론을 도출하고 이를 배제했다. 이후 3조각으로 변환할 가능성을 검토하기 위해 절단의 기본 성질을 활용하여 가능한 절단 조합을 하나씩 좁혀 나갔다.

정삼각형을 3조각으로 나누는 패턴의 일부. /arXiv(2024). DOI: 10.48550/arxiv.2412.03865

이 과정에서 연구진은 매칭 다이어그램 기법을 적용했다. 매칭 다이어그램은 절단된 조각들의 변과 꼭짓점 간의 관계를 그래프 구조로 변환하여 분석하는 기법으로, 이를 통해 정삼각형과 정사각형을 형성할 수 있는 절단 방식이 존재하는지를 체계적으로 검토할 수 있다. 연구진은 이 기법을 활용해 3조각 이하로 정삼각형을 나누는 어떤 방식도 완벽한 정사각형을 구성할 수 없음을 증명했다.

이번 연구는 기하학적 퍼즐 연구뿐만 아니라 제조업, 섬유 디자인, 공학적 절단 공정 등에서 최적화 알고리즘 개발에 기여할 것으로 기대된다. 또한 연구진이 개발한 분석 기법은 다양한 기하학적 변환 문제에 응용될 수 있어, 향후 추가 연구에도 활용될 가능성이 있다.

백진언 연세대 수학과 박사후연구원은 “임의의 모양을 다루는 문제는 가능성이 유한개의 변수로 설명될 수 없어 많이 연구되지 않았는데, 이번 연구는 이 모양들을 전부 탐색하는 흔치 않은 수학적 증명이라는 점에서 의미가 있다”며 “무한차원 모양의 공간을 다룰 수 있는 새로운 방법이라는 점에서 모양을 다루는 문제들에 훗날 새로운 영감이나 테크닉을 줄 수도 있다”고 말했다.

백진언 박사는 지난해 미국 고등학교 수학 교과서에 등장할 정도로 잘 알려진 ‘소파 움직이기 문제’라는 60년 난제를 해결해 수학계에서 주목을 받았다. 소파 움직이기 난제는 폭이 1이고 직각으로 꺾인 복도를 지나갈 수 있는 가장 면적이 넓은 평면도형은 무엇인지 묻는 문제다. 단, 소파를 세워서 이동하거나 분해하거나 기울일 수 없다. 1966년 캐나다의 수학자 레오 모저가 제시했다.

백진언 연세대 연구원이 ‘소파 움직이기 문제’의 답으로 증명한 소파의 모양. 위 그림은 복도 위치를 고정하고 소파를 움직일 때, 아래 그림은 소파의 위치를 고정하고 복도를 움직일 때를 나타낸다./arXiv:2412.03865v1

참고 자료

arXiv(2024), DOI: https://doi.org/10.48550/arXiv.2412.03865

arXiv(2024), DOI: https://doi.org/10.48550/arXiv.2411.19826

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