반복되는 수의 신비, ‘순환소수’ 개념 찾는 재미

연재 ㅣ 기적같이 수학 잘하는 법

게티이미지뱅크

수학은 단순한 계산이 아니다. 때로는 마술처럼 신비로운 매력을 지니고 있다. 유리수와 순환소수, 소수가 대표적이다. 특히 소수의 매력은 무궁무진하다. 일례로 타율, 승률, 성공률, 방어율 등 스포츠에서 중요한 기록이 모두 소수로 표현된다.

소수 중에서도 무한히 반복되는 순환소수는 그야말로 신기한 수의 일종이다. 순환소수는 0.222…나 0.242424…처럼 소수점 아래 숫자들이 일정한 패턴으로 반복되는 소수를 말한다. 무한소수이면서도 패턴이 존재한다는 점에서 수학적으로도 매우 흥미로운 개념이다.

많은 학생들이 순환소수 개념을 이해하는 데 어려움을 겪는다. 그런데 이 순환소수의 개념을 일상생활의 무한 반복과 연결해보면 재미있는 발견을 할 수 있다. 예를 들어, 노래 부를 때나 응원할 때 특정 구절이 반복되는 부분은 마치 순환소수처럼 일정한 패턴을 이룬다.

썬로우가 2018년 발표한 노래 ‘아이 원트 유 백’(I Want You Back / 무한반복)에서는 ‘I always think about you girl/I always dream about you girl’이라는 가사가 여러 차례 반복된다. 이는 듣는 사람에게 친숙함을 줄 뿐 아니라 쉽게 노래를 따라 부르게 만든다.

남아프리카 공화국에서 축구 경기의 응원도구로 주로 사용되는 나팔 모양 악기 ‘부부젤라’는 약 120dB의 소음을 발생시킨다.

이는 항공기나 나이트클럽의 소음과 유사한 수준이며, 사격장 소음(115dB), 기차 소리(110dB), 잔디 깎는 기계(90dB)보다 시끄러워 선수들에게 큰 힘을 주는 응원도구로 손색이 없다.

특히, ‘부부젤라를 위한 소나타’ 연주곡은 뿌-뿌-뿌-뿌로 끊임없이 반복되는 4박자 규칙을 지녀 친근감과 더불어 따라 부르게 만드는 역할을 한다. 일상에서 확인 가능한 ‘반복’의 매력이자 ‘반복’의 힘이다.

2011년 6월 말, 여섯 자리 숫자 142857이 누리꾼 사이에서 ‘이상한 수’ ‘신비의 수’ ‘신이 만든 숫자’ ‘놀라운 수’라는 이름으로 화제가 됐다.

이 숫자는 1부터 6까지의 숫자로 곱할 때마다 그 결과가 항상 142857 안에서 재구성된다는 특징을 가지고 있다.

142857×1=142857 / 142857×2=285714 / 142857×3=428571 / 142857×4=571428 / 142857×5=714285 / 142857×6=857142

또, 나온 결과를 세 자리씩 나눠 더하면 모두 999라는 같은 값이 나온다.

142+857=999 / 285+714=999 / 428+571=999 / 571+428=999 / 714+285=999 / 857+142=999

이 밖에 142857을 두 자리씩 나눠 더하면(14+28+57) 99가 된다. 더 흥미로운 점은 142857에 7을 곱하면 999999가 되는데, 이러한 규칙이야말로 수학의 신비라고 할 수 있다.

신기한 수 142857는 어떻게 나왔을까. 그 비밀은 분수, 더 정확하게는 순환소수에서 찾을 수 있다.

6539477124183 역시 일정한 패턴의 숫자가 반복되는데, 이 숫자에 17을 곱한 수에 1부터 9까지 차례로 곱하면 재미있는 결과가 나온다.

142857, 6539477124183 같은 독특한 숫자들이 더 있을지 모른다. 순환소수라면 가능하기 때문이다.

우리 일상생활도 순환소수처럼 일정한 패턴과 반복으로 이뤄졌다.

이러한 일상의 반복과 규칙에서 더 나아가 수학의 매력을 발견한다면 흥미로운 탐구가 가능한 과목이 될 수 있다.

최우성 다산고 교장 · ‘수포자도 수학1등급 받을 수 있어’ 저자