붙잡을수 없이 계속 흐르는 무한한 시간 속 유한한 인간 [수학을 디자인하다]

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0.9999…=1

수학 교실에서 학생들에게 위 식이 옳은지 물어보면 거의 대부분 학생들은 0.9999…가 1보다 조금이라도 작을 것 같다고 말합니다. 수학은 수(數)를 다루는 학문이지요. 오늘의 주제는 연속적으로 변하는 수입니다. 0.9999…=1이라는 문제는 '지금이 정확히 몇 시일까요'라는 질문과 유사합니다.

소수점 아래의 9도 계속 나오고 시간도 계속 흐르고 있는 상태이기 때문이죠.

영원히 9를 쓸 수 있다고 해도 궁극은 1이 되는지 알 수 없습니다. 마찬가지로 현재의 시각을 정확히 말할 수 없죠. 다만 몇 시, 몇 분, 몇 초…라고 말하고 받아들일 뿐입니다.

"0.999999는 1에 점점 가까워지고, 궁극적으로는 1이 된다."

0.9999…=1에서 등호는 '1에 가까이 간다'는 의미로 해석해야 합니다. 그리고 더 중요한 것은 결국엔 같아졌다고 우리가 인식하고 받아들여야 한다는 것인데, 이 부분이 조금 어렵습니다. 무한을 수학으로 이해하기 위해서는 '극한(limit)'에 대해 알아야 합니다.

극한에는 두 가지 종류가 있습니다. 동적인 의미의 '가까이 간다'(가무한)와 정적인 의미의 '가까이 갔다'(실무한)입니다. 두 종류의 극한의 의미는 다르지만, 수학적으로 같다는 것이 밝혀졌습니다.

조금 어려운 식을 보겠습니다.

'limχ→∽'는 'χ가 무한히 커지는 상태'를 나타내는 기호입니다. χ가 아주 커지면 1/χ의 값은 0에 가까워집니다. 1/1000000과 같은 수를 생각하면 됩니다. 아주 작은 수이지요.

분모의 수의 값이 커질수록 분수의 값은 0에 가까이 갑니다.

그리고 놀랍게도 결국에는 1이 됩니다.

근대 이후에 수학자들 사이에서 연속적으로 변하는 수나 무한에 대한 논의가 활발하게 이뤄졌습니다. 무한의 개념은 초기에 수학자들에게도 참 어려웠습니다. 유한을 살고 있는 인간은 무한을 이해하는 데 한계가 있습니다. 다만 그냥 받아들여야 할 뿐이겠지요.

무한히 흘러가는 시간에서 계절의 변화는 자연이 준 선물입니다. 또 인간은 연월일시로 시간을 나누어 매듭지어 놓았습니다.

차가운 겨울 바람이 부는 연말이지만, 또 맑은 정신으로 한 해를 마무리하고 새해를 준비할 수 있다는 건 참 고마운 일입니다.

[반은섭 '인생도 미분이 될까요' 저자·교육학 박사]