월드컵 토너먼트, 경기 몇번 열릴까 [수학을 디자인하다]

월드컵 열기가 뜨거웠는데요. 한국은 조별리그에서 2위로 토너먼트(승자전)에 올라갔습니다. 월드컵 토너먼트는 16개국이 별들의 전쟁을 치러 우승팀을 가리는 방식으로 진행됩니다. 동점 없이 반드시 승패가 결정된다고 할 때, 우승팀이 결정되기까지 몇 번의 경기가 열릴까요? 오늘은 토너먼트 시합을 할 때 참가 팀 수와 시합 수 간 관계를 알아보고 공식을 만드는 방법을 생각해 보겠습니다.

고대 그리스 이래로 전해오는 문제 해결 비법이 있습니다. 발견술(Heuristics)이라고 하는데요. 16개 팀의 시합 수를 알아보기 위해 발견술 중 하나인 단순화하기 전략을 살펴보겠습니다. 단순화하기 전략은 어려운 문제 풀이나 공식을 찾아내야 할 때, 숫자나 차원을 낮춰 관계를 파악하는 것입니다. 우리가 풀어야 할 문제는 16개 팀의 시합 수인데요. 두 팀, 세 팀, 네 팀으로 간단하게 숫자를 줄여 어떤 규칙이 있는지 생각해보는 것입니다.

예를 들어 두 팀이 참가했다고 하면, 시합 한 번으로 우승팀이 가려집니다. 세 팀이면 어떨까요? 부전승이 있지만, 두 번의 시합이면 됩니다. 네 팀이면 세 번의 시합이면 충분합니다. 우리는 여기서 참가 팀 수에서 1을 뺀 값이 시합 수라는 관계식을 찾을 수 있습니다. 단순화하기 전략의 핵심은 관계식을 낮은 차원에서 높은 차원으로 확장하는 것입니다.

이제 월드컵 16강전으로 다시 가보겠습니다. 우리가 찾은 규칙에 따르면 16개국 중에서 우승국을 가리기 위해서는 '16-1=15'로 모두 15번의 시합을 해야 합니다(단, 월드컵에서는 3, 4위전이 별도로 있으므로 모두 16번의 경기가 펼쳐지겠네요).

발견술 중에서 단순화하기 전략은 복잡한 수학 문제 풀이는 물론이고 우리 삶에 적용해볼 수도 있습니다. 복잡하고 어지러운 문제들이 있다면 경우의 수를 조금 줄여 한 차원 내려놓고 들여다보는 것은 어떨까요?

[반은섭 '인생도 미분이 될까요' 저자·교육학 박사]