일기예보·MRI 검사 … 세상을 바꾼 수학 미적분의 힘 [김태원 연구원 이투스에듀]

지난 17일 대망의 2023학년도 대학수학능력시험이 치러졌다. 고3 학생들은 수시 대학별 고사와 정시를, 예비 고1부터 고3이 되는 학생들은 새 학기를 준비하고 있을 이 시점에 수학에 대한 이야기를 하려고 한다. 고등학생이라면 한 번쯤 들어봤을 '미분'과 '적분'에 대한 이야기다.

2022학년도 수능부터는 2015 개정교육과정이 적용돼 공통과목인 수학Ⅰ·수학Ⅱ를 필수로 응시해야 하고, 선택과목인 확률과 통계·미적분·기하 중에서 한 과목을 필수로 봐야 한다. 이때 수학Ⅱ의 2단원이 미분을, 3단원이 적분을 다루고 있다.

어차피 배워야 하는 내용이라면 미분과 적분이 어떻게 탄생했고, 왜 배워야 하는지 정도는 아는 것이 좋지 않겠는가? 또한 대학에 진학하게 된다면 자연과학, 공학, 경제학, 사회학 등 여러 분야에서 미적분학이 광범위하게 이용되고 있다는 것도 이 이야기를 들려주려는 이유다.

적분의 기원

왜 미분부터가 아니라 적분부터일까? 그 이유는 적분이 더 먼저 발견됐기 때문이다. 쉽게 표현하자면 미분은 움직이는 대상을 다루는 반면 적분은 도형의 넓이, 부피와 같이 움직이지 않는 대상을 다룬다. 움직이지 않는 대상을 탐구하는 것에서 움직이는 대상까지 탐구 영역을 확장해 나간 것이다. 적분의 기원은 고대 이집트로 거슬러 올라간다. 나일 강이 주기적으로 범람해 인근 농지가 엉망이 되기 일쑤였고, 그로 인해 지주들의 불만이 컸다. 땅 모양이 변해 경계를 새롭게 그어야 하는데 땅은 다각형이나 원 모양이 아니기 때문에 단순한 방법으로 정확한 넓이를 구할 수 없었다. 그래서 '구분구적법'이라는 아이디어가 탄생하게 됐다. 구분구적법은 불규칙한 모양을 삼각형, 사각형 등 넓이를 구하기 쉬운 도형으로 잘게 나눠 각각을 구하고 그 합으로 총넓이를 구하는 방법이다. 이는 기원전 5세기, 고대 그리스 안티폰의 아이디어에서 시작해 약 200년 뒤 아르키메데스에 의해 완성됐다.

미분의 기원

미분은 움직이는 대상을 다룬다. 위 그림에서 공이 그리는 곡선의 두 지점을 지나는 직선을 생각해 보고, 그 두 지점을 점점 가깝게 붙여보자. 마침내 두 지점이 일치하게 되면 직선은 곡선과 한 점에서 만나게 되고, 이것을 접선이라고 한다. 이는 17세기 이탈리아 갈릴레이 일파의 운동학에서 정립된 개념으로 '점의 운동을 곡선으로, 운동의 순간 방향을 접선 방향으로' 정의했다. 접선이 수평인 곳에서 곡선의 높이는 가장 큰 값을 가지고, 이를 극댓값이라고 한다. 17세기 독일의 라이프니츠는 이와 같이 곡선에 접선을 그리고, 함수의 극대와 극소를 찾는 문제에서 미적분의 개념을 체계화해 정립했다.

한편 라이프니츠가 미적분을 발견하기 약 10년 전에 영국의 뉴턴이 먼저 미적분의 개념을 발견했다. '유율법'이라고 이름 붙인 이 개념은 유량 사이의 관계식에서 유율 사이의 관계식을 얻는 방법(미분법), 역으로 유율 사이의 관계식에서 유량 사이의 관계식을 얻는 방법(적분법)을 정의했다. 여기서 유량은 흐르는 양, 즉 시간과 함께 변화하는 양을 나타내고 유율은 흐르는 비율, 즉 유량의 속도를 의미한다. 뉴턴은 이 개념을 이용해 역학체계를 확립하는 큰 업적을 세웠다.

미적분의 창시자 논쟁

뉴턴과 라이프니츠는 누가 먼저 미적분을 창시했는지를 두고 수십 년간 치열한 표절 공방을 벌였다. 뉴턴은 10년 먼저 발견했지만 출간을 하지 않았고, 런던의 출판업자가 뉴턴의 미출간 자료 일부를 라이프니츠에게 보내줬다고 한다. 그리고 라이프니츠는 뉴턴보다 늦게 발견했지만 먼저 출간했기 때문에 최초 발견자라는 소문이 퍼지게 된 것이다. 뉴턴은 "라이프니츠가 내 발견을 도둑질했다"며 비난했고, 라이프니츠는 "비슷한 시기에 독자적으로 발견했을 뿐"이라고 대응했다. 이 사건으로 인해 영국과 대륙의 수학자들이 갈등을 빚으며 한동안 교류를 중단했을 정도였다. 현재는 각각의 접근법이 다르기 때문에 각자의 독자적 발견을 인정하고 있다. 다만 라이프니츠의 기호 체계가 더 직관적이고 편리하기 때문에 라이프니츠의 기호 체계를 사용하고 있다.

중요한 이야기

고대 그리스 시대에도 이미 여러 가지 곡선의 접선은 연구되고 있었다. 다만 그 시절에는 미분과 적분이 별개의 개념으로 인식됐고 각자 영역에서 발전되고 있었다. 뉴턴과 라이프니츠의 발견은 이 별개의 두 개념을 하나로 연결한 것으로 수학 역사상 가장 위대한 발견 중 하나로 꼽힌다.

예를 들어 파도가 밀려오는 장면을 애니메이션으로 만든다고 가정해보자. 가장 쉬운 방법은 파도가 밀려오는 장면을 수백, 수천 장의 사진으로 담아 빠르게 돌려 표현하는 것이다. 하지만 파도의 움직임을 미적분을 통해 분석하고 방정식을 세운다면 움직이는 그림을 쉽게 표현할 수 있다. 심지어 폭풍우가 몰아치는 날씨를 기다리지 않고도 폭풍우가 몰아치는 때 파도를 표현할 수도 있다. 이 밖에 미적분은 다양한 분야에서 응용되고 있다.

마지막으로 미적분 삼행시로 오늘의 이야기를 정리한다.

"미래를 위해 적극적으로 공부해 두면 분명히 도움이 된다."

① 안경에 사용되는 렌즈부터 전파를 수신하는 안테나까지 미적분이 이용된다.

② 통계가 이용되는 경제학, 사회학 전반에서 미적분이 이용된다.

③ 이론물리학, 천문학 등 우주를 탐구하는 분야에서도 미적분이 이용된다.

④ 일기예보에도 미적분이 이용된다. 유체역학과 관련된 여러 방정식을 이용해 기상을 예측하는 데 도움을 주고 있다.

⑤ MRI, CT 등 의료기기에도 미적분이 이용된다. 자력, 엑스선, 초음파 등을 여러 각도에서 인체에 투영하고 이를 컴퓨터로 재구성하는 데 미적분을 이용한 함수들이 이용된다.

① 포물선에 내접하는 삼각형을 그린다.

② 포물선과 삼각형 사이에 내접하는 삼각형을 다시 그린다.

③ 이와 같은 방법을 계속 반복하다 보면 결국 포물선 전체가 된다. 이때 ③에서 극한의 개념이 더해지면 비로소 적분의 개념이 완성된다.

[김태원 연구원 이투스에듀]