[주말N수학] 달걀 속 얇은 막, 주름에도 규칙이 있다

최근 달걀 안쪽에 있는 난간막처럼 둥근 모양의 얇은 소재를 펼 때 생기는 주름의 모양에서 규칙이 발견됐다. 게티이미지뱅크 제공

삶은 달걀을 깔 때 껍데기와 흰자 사이에 있는 매우 얇은 막을 본 적 있을 것이다. ‘난각막’이라 불리는 이 막은 달걀 형태를 따라 둥근 모양으로 껍데기에 붙어 있다. 이 막을 떼어내 쫙 펴려고 하면 쭈글쭈글하게 주름이 생긴다. 불규칙해 보이는 이 주름에서 규칙을 찾을 수 있다는 연구 결과가 나왔다. 연구 결과는 국제학술지 ‘네이처 물리학’ 8월 25일자에 실렸다. 

이안 토바스코 미국 일리노이대 시카고 수학과 교수가 이끄는 공동 연구팀은 굴곡진 형태의 얇은 소재를 펼 때 주름이 어떻게 생기는지 ‘장력장 이론’을 이용해 연구했다. 얇은 소재를 펼 때 물체의 양쪽에서 끌어당기는 힘인 ‘장력’이 발생한다. 장력이 작용하는 영역을 ‘장력장’이라고 하는데, 장력장 이론은 여기서 일어나는 에너지의 변화를 수학적으로 정리한 것이다.

연구팀은 이를 바탕으로 안장(말 등에 얹어서 사람이 타도록 만든 도구)과 구 모양으로 얇은 막이 굽어져 있다고 가정하고, 이 막을 편평하게 만들 때 주름이 어떤 모양으로 생길지 예측하는 수학 모형을 만들었다. 막의 일부를 정사각형, 타원, 삼각형 등 다양한 모양으로 잘라서 각각의 주름이 어떤 모양으로 어디에 생기는지 예측한 결과를 합친 것이다.

그런 뒤 사람 머리카락보다 수천 배 얇은 플라스틱을 구길 때 생기는 주름을 연구하던 엘레니 카티포리 미국 펜실베이니아대 물리천문학부 교수팀이 만든 모의실험 프로그램으로 이 식의 정확도를 검증했다. 그 결과 수학 모형과 모의실험의 결과가 거의 일치한 것으로 나타났다. 

공동 연구팀은 이번 연구를 통해 동물 몸속에 있는 얇은 막이나 반도체 등 매우 얇은 물질이 지닌 주름 모양의 규칙을 이해할 수 있을 거라 기대했다.

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[김진화 기자 evolution@donga.com]