리만의 기하학 60년 후..아인슈타인 상대성이론 탄생 [Science]

후대 과학자 돕는 순수수학
내비게이션 최적 경로 구하기
18세기 '그래프 이론' 활용
디지털 암호에는 '정수론' 응용

리만.

허준이 프린스턴대 교수는 지난 14일 열린 기자간담회에서 스스로를 "순수 수학자 중에서도 가장 순수한 수학자"라고 밝혔다. 이어 "응용 가능성에 대해서는 완벽하게 무지하다"고 덧붙였다. 자신의 연구 성과가 구체적으로 어떻게 산업 현장에 적용될 수 있는지를 묻는 질문에 대한 대답이었다.

실제 과거에 있었던 위대한 수학적 업적은 현대에 와서 상상하지 못한 방향으로 과학기술 발전을 이끌었다. 19세기 수학자 '베른하르트 리만'이 개척한 '리만기하학'이 대표적이다.

기존 기하학은 2차원 평면 위에서의 선과 점, 면과 도형 등을 대상으로 했다. 1850년대 탄생한 리만기하학은 평평한 공간에서의 도형뿐 아니라 공간 자체가 휘어 있을 때의 기하학을 다뤘다. 가령 평평한 곳에서 삼각형 내각의 합은 180도가 나오지만, 휘어 있는 공간에서는 삼각형 내각의 합이 180도보다 클 수도, 작을 수도 있다.

아인슈타인.

리만기하학은 등장으로부터 약 60년이 흐른 뒤 독일 물리학자 알베르트 아인슈타인이 일반상대성이론을 발표하는 데 큰 영향을 미쳤다. 중력이 시공간을 휘게 한다는 것을 표현하기 위해서는 평면을 가정하는 기존 기하학으로는 역부족이었기 때문이다. 아인슈타인은 결국 리만기하학을 이용해 일반상대성이론을 완성하는 과정에서 수학자 마르셀 그로스만의 도움을 받은 것으로 알려져 있다. 새로운 수학적 개념이 위대한 물리학의 발견으로 이어진 셈이다.

위성항법시스템(GPS)이 탄생하며 리만기하학은 기어코 실생활과 밀접한 수준까지 들어왔다. GPS는 위성으로부터 신호를 받아 정확한 위치정보를 얻는 시스템으로, 내비게이션 등에 사용된다. 그러나 위성이 떠 있는 곳은 지구에 비해 중력이 약하게 작용해 오차를 보정하는 시스템이 필요하다. 이 오차를 바로잡는 데 일반상대성이론과 특수상대성이론이 사용된다.

다만 GPS만으로 최적의 이동경로를 찾을 수는 없다. GPS는 단지 위치 좌표만을 제공하기 때문이다. 그렇다면 가령 서울에서 대전까지 이동하는 가장 빠른 경로는 어떻게 구할 수 있을까. 여기엔 수학의 '그래프 이론'이 사용된다.

과거의 위대한 수학적 발견이 현대 생활의 삶과 이어지는 사례는 이것 말고도 많다. 영화에 활용되는 컴퓨터 그래픽(CG)은 생동감을 위해 미분방정식을 동원해 파도의 움직임 등을 표현한다. 인터넷상에서 개인정보를 보호하는 암호에는 정수론이 활용된다. 우리가 사용하는 교통카드에도 타원곡선을 활용한 암호가 들어가 있다. 최근 주목받는 인공지능(AI)에서는 고등교육과정에서 배우는 행렬이 확장된 선형대수학이 활용된다.

박형주 아주대 교수(전 아주대 총장)는 "내비게이션은 GPS와 수학 알고리즘의 절묘한 조합"이라며 "그래프이론과 리만기하학 모두 GPS가 출현하기 훨씬 전에 만들어진 것"이라고 설명했다.

이어 "수학자들이 응용을 염두에 두지 않고 새로운 법칙을 찾으면 당장 인류의 삶에는 보탬이 안 될 수 있으나 미래에는 새로운 기술로 이어질 것"이라고 전했다.

그렇다면 허 교수의 수학적 업적은 어떤 분야에 활용될까. 허 교수는 전혀 모른다고 답했지만, 외국 연구진은 이미 허 교수의 연구 결과를 이용해 효율적인 알고리즘을 고안했다. 2018년 니마 아나리 스탠퍼드대 교수 등은 특정 환경에서 빠르게 근사치를 구하는 방법을 소개하는 논문을 발표하며 허 교수의 논문 2개를 언급했다.

대한수학회는 허 교수의 필즈상 수상을 전하며 "정보통신 분야와 반도체 설계, 교통, 물류, 기계학습, 통계물리 등 여러 응용 분야의 발달에 기여하고 있다"고 밝혔다.

[정희영 기자]

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