물의 파동 방정식과 플라즈마 소리 파동 방정식 관계 밝혔다

기초과학연구원(IBS) 기하학 수리물리 연구단

알렉산더 알렉산드로브 기초과학연구원(IBS) 기하학 수리물리 연구단 연구위원은 낮은 수면에서 물의 파동을 설명하는 코르테버르그드브리(KdV) 방정식과 여기서 파생돼 플라스마에서 소리의 파동을 표현하는 B타입 KP 적분가능계(BKP) 방정식 사이의 상관관계를 찾아내 과학적 응용 가능성을 찾아냈다고 8일 밝혔다. IBS 제공

국내에서 활동하는 러시아 수학자가 해답을 정확하게 찾아내는 방정식인 적분가능계 방정식 중 수면에서 물의 파동을 설명하는 방정식과 플라즈마에서 소리 파동을 나타내는 방정식 사이 연관성을 밝혀냈다. 수학 연구를 통해 두 방정식의 과학적 응용 가능성을 찾아낸 연구라는 평가가 나온다.

알렉산더 알렉산드로브 기초과학연구원(IBS) 기하학 수리물리 연구단 연구위원은 낮은 수면에서 물의 파동을 설명하는 코르테버르그드브리(KdV) 방정식과 여기서 파생돼 플라즈마에서 소리의 파동을 표현하는 B타입 카돔체프-페트비아시블리(BKP) 적분가능계 방정식 사이의 상관 관계를 찾아내 과학적 응용 가능성을 찾아냈다고 8일 밝혔다.

방정식은 자연현상을 수학적으로 표현하는데 쓰인다. 방정식을 풀어 수량화하면 자연현상을 실생활에 적용할 수 있다. 하지만 방정식이 복잡하면 답을 찾기 어렵고 수량화도 어려워진다. 대부분 수치해석 알고리즘을 토대로 한 컴퓨터 연산에 의존해 답을 찾게 된다.

반면 적분가능계 방정식은 방정식 내 변수인 시간이나 위치가 변해도 변하지 않는 불변값이 많아 해를 찾기 유리하다. 1877년 등장한 KdV 방정식과 1970년대 등장한 BKP 방정식은 대표적 적분가능계 방정식으로 꼽힌다.

연구팀은 두 개의 적분가능계 방정식 사이 존재하는 간단한 상관 관계를 발견했다. 두 방정식은 1980년대 일본 도쿄대 연구팀이 KdV 방정식 계층을 BKP 계층의 ‘4-축소’라 부르는 형태로 연관지은 일이 있다. 적분가능계에서 등장하는 편미분 방정식 풀이를 타우 함수로 기술하는 방법이다. 타우 함수는 무한히 많은 변수로 이뤄진 형식적 함수다. 

최근 수학자들은 KdV와 BKP 사이에 자연스런 상관관계가 있을 것이라 예상해 왔다. KdV 타우 함수 중 하나인 콘체비치-위튼 타우 함수를 BKP와 관련이 큰 슈어 큐-함수로 전개할 수 있음을 보인 연구도 나왔다. 알렉산드로브 연구위원은 이를 토대로 KdV 타우 함수가 BKP 계층 방정식의 해법을 줄 것으로 추측하고 이를 증명했다. KdV 계층의 특정 타우 함수가 아닌 어떤 타우 함수로도 BKP의 해를 찾아낼 수 있다는 것을 증명한 것이다.

일본 도쿄대 연구팀의 이론은 수리물리 분야에서 두 방정식 사이 관계를 더 이상 간단하게 설명할 수 없는 정설이라고 여겨져 온 만큼 이번 발견은 예상치 못한 증명이라는 평가다. 연구결과는 지난해 6월 국제학술지 미국립과학원회보(PNAS)에 실렸다. PNAS는 1914년 출간된 융복합 분야 국제학술지로 과학 전반을 다룬다. 순수한 수학 연구가 종합과학 학술지에 실리는 것은 이례적이다.

이번 연구는 플라즈마 연구와 물의 파동을 분석할 때 분석결과를 보다 쉽게 찾게 만들어 관련 연구에 응용될 수 있다는 기대다. 알렉산드로브 연구위원은 “수학적 개념이었던 적분가능계 이론을 물의 파동과 플라즈마에서의 소리 파동 물리학 이론에 적용해 그 과학적 응용 가능성을 확인했기 때문에 기존 순수수학 연구들과 달리 종합 학술지에서도 관심을 가진 것으로 판단된다”며 “기하학과 수리물리 분야에서 새로운 결과들이 파생될 것으로 기대한다”고 말했다.

[조승한 기자 shinjsh@donga.com]