'입사각 = 반사각' 원리 이용한 '쿠션당구'

[한겨레] 당구 경기에서 경기자가 도저히 맞히지 못할 것 같은 공들을 맞히는모습을 보면, 그 신기한 기술에 놀라 탄성이 절로 나온다. 당구대 위에 공을 올려놓고 흉내를 내 보고 나서야 쉬운 일이 아님을 알게 된다. 그러나 수학을 이용하면처음 당구를 치는 사람도 쉽게 공을 맞힐 수 있다.

당구대 위에 공을 놓고 쿠션(당구대 안쪽 가장자리의 공이 부딪치는 면)의 한지점을 향해 공을 치면 공은 어떻게 움직일까? 보통의 힘보다 약하게 공을 치면반사각은 보통의 반사각보다 커지고, 보통의 힘보다 강하게 공을 치면 보통의반사각보다 작아진다. 왜 그럴까? 쿠션이 고무로 되어 있어 탄력이 영향을 미치기때문이다.(그림 1) 관찰하고 추측하기 1. 빛은 거울에 반사될 때 입사각과 반사각이 같은 것으로 알려져 있다. 수학에선이 사실을 대칭 개념으로 설명한다. 점 C를 직선 l에 대하여 대칭시킨 점을 C′로표현하면, 빛은 점 A에서 출발하여 점 C′에 도착하는 것과 같다.(그림 2) 당구대위에 그림과 같이 세 개의 공이 놓여 있다고 하자. 공 A를 어떻게 쳐야 공 C를맞힐 수가 있을까? 점 C를 쿠션에 대해 대칭시킨 점 C′를 향해 공 A의 가운데를보통의 힘으로 치는 것도 한 가지 방법이다. 이것은 쿠션의 지점 B에 수직인 선을그어 생각할 때 입사각( )과 반사각( )이 같기 때문이다.(그림 3) 쿠션에 두 번,세 번 반사시켜 공을 맞히려면 어떻게 해야 할까? 대칭을 각각 두 번, 세 번적용하면 된다. 실제로 실험하여 확인해 보라. 2. 대부분의 당구대는 직사각형 모양이고 가로 길이와 세로 길이의 비율이2:1이다. 당구대의 구석에서 쿠션과 45도 각도로 공을 치면 쿠션에 반사되는횟수는 몇 번이나 될까? 한 번이다. 만약 가로 길이와 세로 길이의 비율이 7:5인당구대에서 같은 방법으로 공을 치면 쿠션에 공이 몇 번 반사될까? 번호를 붙여생각하면 쿠션에 공이 반사된 횟수는 10번이다.(그림 4) 비율을 바꾸어 같은방법을 적용하면 하나의 규칙을 발견할 수 있다. 일반적으로 당구대의 가로 길이와세로 길이의 비율이 m : n일 때, 구석에서 쿠션과 45도 각도로 공을 치면 쿠션에반사되는 횟수는 m+n-2임을 알 수 있다.

김흥규/서울 광신고 교사 heung13@unitel.co.krⓒ 한겨레(http://www.hani.co.kr), 무단전재 및 재배포 금지