[주말N수학] 걷다가 새똥 맞을 확률은

게티이미지뱅크 제공

똘똘 뭉친 휴지와 가지런히 접은 휴지 중 어느 쪽이 더 휴지를 적게 쓸까. 다소 황당한 듯 보이는 이 질문의 답을 잠깐 생각해보자. 뭐라고 답을 냈는가.

2019년 미국의 소셜 뉴스 웹사이트 '레딧’에 이 질문이 올라오자 사용자들은 '당연히 접어야지, 뭉친 휴지로 닦는다는 개념 자체를 이해하지 못 하겠다’, '접을 시간이 어디 있냐 뭉쳐야지’ 등 팽팽한 대립 반응을 보였다. 

● 뭉친 휴지와 접은 휴지 뭐가 더 나을까?

그러던 2020년 4월 물리학자 사무엘 노바리오가 수학 모형을 세워 이 질문에 답했다.

수학동아 제공

노바리오는 휴지를 찢어지지 않게 하면서 오물을 처리하는 데에 쓰는 휴지의 총량을 최소화한다는 목표를 세운 뒤 1번 닦을 때 오물이 가장 많이 묻어나오는 휴지의 형태를 찾고자 했다. 그리고 면적이 넓을수록 많이 주름질수록 오물이 잘 닦인다고 보고 각 휴지의 상태에 따라 면적과 주름의 정도, 휴지 뭉치의 강도가 어떻게 변하는지 비교했다. 

수학동아 제공

그 결과 접은 휴지는 같은 양으로 더 큰 면적을 만드는 장점이 있었지만 주름진 정도가 낮으며 닦다가 찢어질 확률이 더 높았다. 이에 반해 뭉친 휴지는 주름진 정도와 견고함이 높았지만 같은 양으로 만드는 면적이 좁았다. 따라서 그는 같은 양의 휴지가 있을 때 가장 이상적인 방법은 뭉치는 것과 접는 것 그 사이에 있을 거라며 반은 뭉치고 반은 접은 '하이브리드 휴지’를 제안했다. 

수학동아 제공

● 정말 하이브리드 휴지가 답일까

하이브리드 휴지가 정말 우리 엉덩이와 환경을 지켜줄 확실한 대안일까. 최적화 문제를 풀려면 변수 사이의 관계식을 정확히 알아야 하는데 노바리오의 설명에는 이 부분이 빠져 있다. 또 접거나 뭉치는 등의 서로 다른 방법을 썼을 때 면적과 주름이 변하는 정도가 정확히 어떤 식에 의해 변하는지 알아야만 하는데 그 부분도 설명에서 빠져 있다. 

하지만 질문에 수학적으로 사고해 답을 도출한 점은 흥미롭다. 이 질문에 더 정확한 답을 찾고 싶다면 개인의 닦는 스타일, 힘주는 압력, 휴지 브랜드 등을 따져 실험해보자. 의미 있는 변수를 산정해 계산한다면 노바리오보다 더 정확한 답을 끌어낼 수 있을 것이다. 

게티이미지뱅크 제공

● 똥 맞을 확률은 얼마일까

길을 걷다가 날아가는 새의 똥을 맞을 확률은 얼마나 될까. 맞을 확률이 희박하기에 진짜 맞게 되면 운수 나쁜 날이라며 투덜거리게 될 텐데 이 확률을 직접 계산한 수학자가 있다. 

2015년 수학자 피터 올로프슨은 미국 뉴욕 거리를 지나가다 비둘기 똥에 맞을 확률을 계산했다. 그는 하늘에서 수직으로 내려다본 사람의 머리와 어깨 부분의 평균 넓이, 사람과 비둘기가 움직이는 면적, 면적당 날아다니는 평균 비둘기 수, 시간당 비둘기의 배변 횟수 등을 계산에 이용했다. 

계산 결과 뉴욕 시내를 2시간 동안 멈추지 않고 돌아다닌다면 20%의 확률로 비둘기 똥에 맞을 수 있다고 한다. 그렇다면 비둘기가 많기로 유명한 우리나라 서울에서 비둘기 똥에 맞을 확률은 얼마일까? 올로프슨의 방법을 따라 확인해보자.

먼저 위에서 내려다본 사람의 머리와 어깨너비를 a, 이 사람이 움직인 범위의 넓이를 A라고 하자. 그러면 A 구간을 날고 있는 비둘기 1마리가 똥으로 사람을 맞힐 확률은  a/A로 구할 수 있다. 만약 A 구간에 비둘기가 2마리 있다면 둘 중에 최소 1마리만 사람을 맞힐 확률을 구하면 되는데 전체 확률에서 2마리 모두 맞히지 못할 확률을 빼면 된다. 따라서 비둘기가 N마리 있다면 사람이 똥에 맞을 확률 1에서 모든 비둘기가 사람을 맞히지 못할 확률을 빼면 된다. 

수학동아 제공

2009년 한국조류보호협회가 발표한 서울시의 비둘기 수는 약 3만 5000마리다. 올로프슨은 비둘기가 하루 평균 약 21%의 시간 동안 날아다닌다고 했으니 서울시를 기준으로 하면 시간당 날고 있는 비둘기 수는 평균 7350마리고 서울시의 면적이 605km2이므로 100m2의 공간에 시간당 날고 있는 비둘기 수는 평균 1.2마리다.
 

수학동아 제공

이제 N을 새롭게 정의해서 단순한 비둘기 수가 아닌 어떤 시간 동안 걷는 사람에게 노출된 비둘기 똥의 수로 보자. 올로프슨은 수의사의 의견과 기존 연구를 바탕으로 비둘기가 12분마다 1번씩 똥을 누는 것으로 가정했다. 그러면 서울 시내 100m2를 사람이 2시간 동안 쉬지 않고 걸어 다니는 동안 노출되는 평균 비둘기 똥의 수는 다음과 같다. 

수학동아 제공

따라서 수직 면적 0.1m2인 사람이 서울 시내 100m2를 2시간 동안 돌아다닐 때 비둘기 똥에 맞을 확률은 1-(1- a/A)N=1-(1-0.1/100)12=0.01193, 약 1.2%다. 

2023년 기준 서울시 전체 인구가 약 939만 명이니 약 11만 2000명이 길을 걷다 비둘기 똥에 맞을 수 있다. 생각보다 가능성이 큰일이므로 비둘기 똥에 맞았다고 너무 기분 나빠하지 말자. 
 

※관련기사
수학동아 5월호, 화장실에서 발칙한 상상

[수학동아 편집부 ]