[수학을 디자인하다] 오랜 난제 '원의 넓이'..피자처럼 잘게 나눠 구하다

[사진 출처 = 게티이미지뱅크]

지난번에는 원주율과 원주에 대해 다뤘습니다. 이제 원의 넓이를 구하는 원리를 살펴보겠습니다. 먼저 평행사변형과 삼각형의 넓이 구하는 방법을 알아보겠습니다.

위 그림에서 평행사변형이 직사각형이 되는 과정을 보세요. 평행사변형의 밑변이 직사각형의 가로가 되고, 높이가 세로가 되었지요? 직사각형의 넓이가 '가로의 길이×세로의 길이'이므로 평행사변형의 넓이는 '밑변×높이'가 됩니다. 똑같은 삼각형 두 개가 있으면 평행사변형을 만들 수 있습니다. 삼각형 하나의 넓이는 평행사변형의 넓이를 반으로 나눈 것이므로 삼각형의 넓이는 '평행사변형의 넓이÷2'가 되고 이는 다시 '밑변×높이÷2'가 됩니다.

이제 드디어 원의 넓이 차례입니다. 삼각형, 사각형과 다른 도형인 원의 넓이를 구하는 방법을 찾기 위해 오래전부터 수학자들이 많은 고민을 했는데요. 이들은 아래 그림과 같이 원을 잘게 나누어서 원의 넓이를 정확히 구하는 방법을 알아냈습니다.

피자 모양으로 원을 나누는 것인데요. 조각을 엇갈리게 붙인 다음 넓이를 생각해 보면 됩니다. 첫 번째 그림을 보면 피자 모양의 조각들, 즉 부채꼴이 보입니다. 원을 더 잘게 나누면, 조각들이 점점 높이가 반지름인 이등변삼각형 모양이 됩니다. 삼각형 넓이 구하는 방법으로 모든 조각의 넓이를 구해 더하면 원의 넓이를 대략적으로 알 수 있습니다. 원을 한없이 잘게 나누면 세 번째 그림처럼 직사각형이 됩니다. 원의 넓이는 직사각형의 넓이와 같아집니다. '직사각형의 넓이=가로×세로'이고, 이 그림에서 '가로=원주의 1/2'이고 '세로=반지름'이니 원의 넓이는 '원주의 1/2×반지름'입니다. 앞에서 살펴본 바와 같이 '원주=2×반지름×3.14'이므로, 원의 넓이는 '반지름×반지름×3.14'가 되는 것입니다. 원과 관련된 중요한 공식 두 가지가 정리됩니다. '원주=2×반지름×3.14', 원의 넓이=반지름×반지름×3.14'입니다.

[반은섭 '10일 수학(중등편, 고등편)' 저자·교육학 박사]

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