[올림피아드 대비 중등 영재수학]자연수의 정의와 성질

ㆍ일기 속에 나오는 다양한 수 어떻게 만들었을까?

위의 글은 가상으로 만들어본 어느 여자 아이 일기의 한 부분이다. 이 글에는 여러 가지 수가 나온다. 자연수는 물론 유리수 ⅓과 무리수 π가 있다. 이렇게 우리의 생활이나 자연현상 또는 사회 현상을 설명하려면 여러 가지 수가 필요하다. 즉, 우리는 온갖 수에 둘러싸여 살고 있다고 할 수 있다. 그러면 수는 누가 어떻게 만들었을까?

수학을 몰랐던 원시시대 사람들도 물건의 개수를 하나, 둘, 셋…. 이렇게 세는 것은 알았을 것이다. 물론 표현 방법이나 용어는 지금 우리가 사용하는 것과 많이 달랐겠지만. 또 연산을 하지는 못하더라도 사과 하나보다는 사과 두 개가 많다는 것은 알았을 것이다. 이렇게 하나, 둘, 셋 세는 것에서 자연수(natural number)가 시작되었다. 좀더 사회가 발전하고 복잡하게 되어 물건을 빌려주는 일을 계산하기 위해 뺄셈을 고안하게 되었고, 자연수에 -부호를 붙인 수를 생각하게 되었다. 우리는 자연수와 자연수에 -부호를 붙인 수를 합하여 정수(integer)라 한다. 더 나아가 두 정수의 비로 나타낼 수 있는 수가 유리수(rational number)임을 우리는 잘 알고 있다.

이렇게 자연수가 무엇인지 알고 있으면 자연수로부터 정수, 유리수를 만들어 나가는 과정은 쉽게 이해할 수 있다. 그러나 수를 만들어 가는 과정에서 쉽게 이해되지 않는 단계가 두 곳이 있다. 첫 번째는, 직관적으로는 하나, 둘, 셋 또는 일, 이, 삼이 자연수라는 것은 알겠는데 정확하게 수학적으로 무엇인지는 이해하기 쉽지 않다는 것이다. 그래서 독일의 수학자 크로네커(L. Kronecker, 1823~1891)는 "자연수는 신이 만들었고 그 이외의 수는 모두 인간이 만들었다"고 하였다. 두 번째로 어려운 단계는 유리수에서 실수로는 어떻게 확장되는가 하는 것이다. 이 두 번째 단계에 대해서는 다음에 설명하기로 하고 아래에서는 자연수가 무엇인지에 대해서 자세히 알아보자.

크로네커는 자연수는 신이 만들었다고 하였지만, 수학자들은 자연수마저 논리적으로 설명하려고 노력하였다. 이탈리아의 수학자 페아노(G. Peano, 1858~1932)는 다음 다섯 가지 성질을 만족하는 집합을 자연수의 집합이라 정의하였는데 이 성질을 페아노 공리라 한다.

성질 N5를 수학적 귀납법이라 부르는데 자연수 에 관한 명제를 증명할 때 많이 이용되는 중요한 성질이다. 이제 페아노 공리로부터 자연수를 다음과 같이 만들 수 있다. 한 단계씩 잘 읽으면서 이해해 보기 바란다. 수학을 잘 하려면 정의를 이해하고, 이 정의와 이미 증명된 성질만을 이용하여 새로운 정리를 증명하거나 문제를 풀 수 있어야 한다.

1. N1에 의하여 1은 자연수이다.2. N2에 의하여 1의 '바로 다음 수' 1＊가 있고 N3에 의하여 1＊≠1이다. 우리는 1＊를 2라고 나타내자. 그러면 1≠2이다.

3. 다시 N2에 의하여 2의 '바로 다음 수' 2＊가 있다. 또 N3에 의하여 2＊≠1이고 N4에 의하여 2＊≠1＊=2이다. 우리는 2＊를 3이라고 나타내자. 그러면 1≠2≠3이다.

4. 다시 N2에 의하여 3의 '바로 다음 수' 3＊가 있다. 또 N3에 의하여 3＊≠1이고 N4에 의하여 3＊≠2, 3＊≠3이다. 우리는 3＊를 4라고 나타내자. 그러면 1≠2≠3≠4이다.

위의 과정을 반복하면 자연수의 부분집합 을 얻는다. 그런데 집합 에는 1이 있고 의 모든 원소의 '바로 다음 수'를 포함하므로 N5에 의하여 자연수의 집합과 같다. 자연수의 집합을 기호로 나타낼 때는 영어로 자연수를 의미하는 Natural number의 N을 따서 이라고 나타낸다.

어떤 집합이 만들어지면 그 집합의 원소들 사이에는 어떤 관계가 있는지, 원소들 사이의 연산은 어떻게 되는지 하는 것이 그 다음에 생각해 볼 문제이다. 따라서 자연수들의 덧셈과 곱셈은 어떻게 만들어졌는지 알아보자. 두 자연수 에 대하여 덧셈은 다음 두 가지 규칙으로 정의한다.

A1. m+1=m＊A2. m+n＊=(m+n)＊비슷한 방법으로 곱셈은 다음 두 가지 규칙으로 정의한다.M1. m·1=mM2. m·n＊=m·n+m곱셈을 나타낼 때 혼동의 염려가 없으면 기호을 생략하여 이라 나타낸다. 이 정의에 따라 를 계산해보자. 먼저 A1에 의하여 4+1=4＊=5 이다. 따라서 A2에 의하여

4+2=4+1＊=(4+1)＊=5＊=6 이다.위와 같이 덧셈과 곱셈을 정의하면 계산 결과도 우리가 초등학교 때부터 배운 연산과 같을 뿐만 아니라, 자연수의 연산에서 우리가 알고 있는 교환법칙, 결합법칙, 배분법칙 등 여러 가지 성질이 성립함을 보일 수 있다. 다음 문제에서 자연수의 덧셈에 대한 결합법칙이 성립함을 보여 보자.

[예제]

자연수와 덧셈의 정의를 이용하여 덧셈에 대한 결합법칙이 성립함을 보여라. 즉, 모든 자연수 m, n, p에 대하여 (m+n)+p=m+(n+p)} 가 성립함을 보여라.

[풀이]

임의의 자연수 을 택하고 고정한 후 A={p∈N:(m+n)+p=m+(n+p)}라 하면 집합 는 자연수의 집합의 부분집합이다. 이제 자연수의 덧셈의 정의와 페아노 공리의 N5를 이용하여 집합 가 자연수의 집합과 같음을 보이자. 먼저 (m+n)+1=(m+n)＊=m+n＊=m+(n+1)이므로 1∈A이다. 여기에서 첫 번째, 세 번째 등식은 A1에 의해서 성립하고 두 번째 등식은 A2에 의해서 성립한다. 다음으로 p∈A라 하면 (m+n)+p=m+(n+p)이다.

따라서 (m+n)+p＊=[(m+n)+p]＊=[m+(n+p)] ＊=m+(n+p)＊=m+(n+p＊)이므로 p＊∈A 이다. 여기에서 첫 번째, 세 번째, 네 번째 등식은 A2에 의해서 성립하고, 두 번째 등식은 p∈A 이므로 성립한다. 페아노 공리의 N5에 의해서 집합 가 자연수의 집합과 같다. 따라서 모든 자연수 m, n, p에 대하여 (m+n)+p=m+(n+p)가 성립한다.

초등학교 때에는 주어진 문제를 계산하여 푸는 것이 대부분이었지만 중학교 과정 이상의 수학에서는 어떤 성질을 증명하는 경우가 많다. 증명을 잘 하려면 풀이가 있는 예제와 비슷한 방법으로 몇 가지 증명을 해보면서 증명 방법을 익히는 것이 좋다. 위의 예제와 비슷한 방법으로 다음 문제를 직접 해결해 보자.

[문제]

자연수의 덧셈과 곱셈에 대한 배분법칙이 성립함을 보여라. 즉, 모든 자연수 m, n, p에 대하여 m(n+p)=mn+mp가 성립함을 보여라.

< 김병수|서울산업대학교 기초교육학부 교수 >

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