가장 안정적인 구조 '정사면체'

[한겨레] 다리가 여섯 개인 곤충은 한 번에 세 다리만 교대로 움직여 땅을 디디며앞으로 나아간다. 마치 세 다리가 삼각대처럼 보인다. 이번엔 오렌지를 네 개 서로이어 붙여 쌓아 올려보자. 이때 오렌지의 중심을 서로 이으면 정사면체 모양이된다.(그림1) 이 밖에도 철로 만든 다리나 지하철역의 구조물 등에서 정사면체 구조를 쉽게발견할 수 있다. 자연물이나 인공물에서 정사면체의 구조가 왜 자주 발견되는 걸까정사면체가 가장 튼튼하고 가장 안정적인 구조물이기 때문이다. 이는 간단한실험을 통해 확인할 수 있다. 두꺼운 종이로 정사면체를 만들어 양손 사이에정사면체의 한 꼭지점과 그 마주보는 면을 끼우고 이것을 살짝 누르면서 그 세기를느껴보라. 잘 눌러지지 않을 정도로 튼튼하다.

비누막 실험을 통해서도 알 수 있다. 1873년 벨기에의 물리학자플라토(1801~1883)는 정사면체 모양의 철사 틀을 만들어 비눗물에 담가 보았다.

정사면체 모양의 비누막이 만들어짐은 물론 그 내부에 놀랍게도 새로운 구조가만들어졌다. 이때 모든 모서리를 따라 만들어진 비누막은 최소의 넓이를 가지며정사면체 내부에 굽어진 작은 정사면체 모양을 만들어내었다. 이 실험 이후건축가들은 놀라운 사실을 발견했다. 플라토의 비누막 실험에서 나타난역선(力線)을 따라 건축을 할 경우 아주 가늘면서도 압축과 장력에 가장 잘 견디는튼튼한 구조를 만들 수 있다는 것이다. 최소한의 힘으로, 최소의 부피로, 최대의강도를 지닌 구조를 만들 수 있는 것이다. 정사면체는 철사 틀로 발견해 낸 가장안정적인 구조물이다.(그림2) 조금 더 생각하기 1. 같은 크기의 성냥개비 여섯 개를 사용하여 정삼각형 네 개를 만드는 방법은뭘까 접착제를 이용하여 성냥개비들을 서로 연결해 보라. 발상을 약간만 바꾸면발견의 즐거움을 누릴 수 있다.

2. 수학적으로 최소의 겉넓이로 최대의 부피를 가지는 입체도형이 구라면 최대의겉넓이로 최소의 부피를 갖는 것이 정사면체이다. 이 입체도형의 꼭지점, 모서리,면의 사이엔 어떤 관계가 있을까 프랙털 트리 만들기 풀을 이용하여 작은 정사면체를 여러 개 만든다(0단계). 만들어진 작은 정사면체네 개씩 투명 테이프로 연결하여 큰 정사면체를 여러 개 만든다(1단계). 1단계에서만들어진 정사면체를 네 개씩 투명 테이프로 연결하여 더 큰 정사면체를만든다(2단계). 이런 과정을 계속 반복하면 클수록 더 아름다운 프랙털 트리가만들어진다.(그림3) 그림은 3단계까지의 프랙털 트리를 만든 것이다. 색깔, 크기를다양하게 하여 정성으로 프랙털 트리를 만들자. 두꺼운 종이로 만들수록, 정성을들여 만들수록 튼튼하다. 각김흥규/서울 광신고 교사 heung13@unitel.co.kr▼정답1. 평면에서는 불가능하다. 여섯 개의 성냥개비를 정사면체 모양으로 연결하면정삼각형이 네 개가 보인다.

2. 정사면체의 꼭지점, 모서리, 면의 개수를 각각 V, E, F라 하자. 정사면체의꼭지점, 모서리, 면의 개수가 각각 4, 6, 4이므로 V-E+F=2임을 알 수 있다.

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